走弯路的小球，为什么反而先到？

两点之间，直线最短；但从静止松手，路短就一定先到吗？让小球跑一场，再亲手改变轨道，看看速度怎样补回多走的路。

先猜一条：哪条轨道先到？

同一起终点，同时从静止释放真实物理时间 0.000 s

直线浅弯参考摆线

均匀重力 · 无摩擦 · 滑动质点 · g = 9.81 m/s² · 同起终点、零初速

观察方式

播放速度

拖动查看物理时间0.000 / 1.189 s

先选轨道再同时释放，拖动时间看早期下降。播放默认暂停，支持键盘；改变速度或观察方式不会自动开始播放。

路短不等于用时短：先陡降获得速度，也要兼顾全程距离。

01 / 路程与时间

路更长，也可能先到

同样的起终点，直线长约3.724米，参考摆线长4米。这里直线约1.189秒到达，摆线约1.003秒到达。时间取决于每一小段的路程与速度之比，不只取决于总路程。

02 / 为什么先陡降

开始下降得更快，小球便能较早获得较高速度，之后更快地走过路程。切到“比较同高同速”，分别查看下降1米的位置：不计摩擦时，速度只由下降高度决定，v = √(2gh)，都是约4.43米/秒；这不是三球在同一时刻的位置。

03 / 最快的边界

切到过深绕路反例：虽然更早获得速度，过多的路程仍可能让它比直线更慢。给定起终点、零初速、均匀重力和无摩擦滑动质点等条件，最速降线是适当的一段摆线；不是任意弯路都比直线快。

选择“拖动轨道，挑战摆线”，拖动两个空心控制点，或用高度滑块调整曲线。图例中的实心球才是质点，空心点是三次贝塞尔曲线的控制点，并不一定在轨道上。图像始终等比例显示，坐标向下表示下降高度。

可调曲线是一类受限的三次贝塞尔曲线，不包含精确的摆线，因此这不是一个可求出所有最速降线的优化器。拖动时会重新计算路程和时间，不会自动开始播放；时间和当前暂停状态保留。小于0.001秒的差距按显示精度处理，不宣称数值近似打败了理论最优曲线。

固定起点(0,0)、终点(π,2)米，重力加速度9.81米/秒²。以2048小段近似曲线，依据每段的高度和能量计算平均速度与通过时间；细分误差和显示取整都与真实物理实验不同。忽略摩擦、空气阻力、质点尺寸、滚动转动能，假定轨道持续约束质点，不模拟脱轨或真实小球滚动。

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